class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # 📊 Bilgisayar Ortamında Bireye Uyarlanmış Test Nasıl Geliştirilir ] .subtitle[ ##
💹 Madde Tepki Kuramı ile Madde Analizi Uygulaması ] .author[ ### Dr. Kubra Atalay Kabasakal ] .date[ ### 12 Eylül 2022 - Boğaziçi Üniversitesi ] --- <!-- options(download.file.method="libcurl") --> <br> <br> .center[ ##
: Kübra Atalay Kabasakal <br> -- <br> ##
: [Hacettepe Üniversitesi](https://avesis.hacettepe.edu.tr/katalay) <br> -- <br> ] --- ## Madde Tepki Kuramı (MTK) ile Madde Analizi Uygulaması - iki kategorili (doğru-yanlış) MTK modelleri -- - madde ve yetenek parametresi kestirimi -- - madde karakteristik eğrisi çizimi ve yorumlanması -- - model-veri uyumunun incelenmesi -- - madde ve test bilgi fonksiyonu -- - çok kategorili (kısmi puanlama) MTK modelleri -- --- ## İki kategorili (doğru-yanlış) MTK modelleri - MTK **gizil özelliğin farklı düzeylerindeki bireylerin maddeyi nasıl yanıtlayacağını matematiksel olarak gösterir.** - **Sonsuz sayıda** MTK modeli tasarlamak mümkün olmakla birlikte, **az sayıda** model uygulamada kullanılmaktadır. - En popüler tek boyutlu MTK modelleri arasındaki temel ayrım, maddeleri tanımlamak için kullanılan **parametrelerin sayısındadır. ** -- - En popüler dört tek boyutlu *iki kategorili madde yanıt verisi* MTK modelleri - bir-parametreli lojistik (1-PL) - iki-parametreli lojistik (2-PL) - üç-parametreli lojistik (3-PL) - dört-parametreli lojistik (4-PL) modellerdir. --- ## Bir-Parametreli Lojistik (1-PL) Model - **1PL model** yaygın olarak kullanılan MTK modellerindendir. - **1PL model** için madde karakteristik eğrileri aşağıdaki eşitlikle elde edilir: `$$P_i(\theta) = \frac{exp(\theta-b_i)}{1+exp(\theta-b_i)} = \frac{1}{1+exp[-(\theta-b_i)]}$$` `$$ln(\frac{P_i(\theta)}{1-P_i(\theta)})=\theta - b_{i}$$` Burada, - `\(P_i(θ)\)` : θ yetenek düzeyindeki bir bireyin i maddesini doğru yanıtlama olasılığı - `\(b_i\)`: i maddesinin güçlük parametresi --- ## Bir-Parametreli Lojistik (1-PL) Model - Bir madde için `\(b_i\)` parametresi **yetenek ölçeğinde maddeyi doğru yanıtlama olasılığının 0.5** olduğu noktadır. -- - Bu parametre yer parametresi olup **yetenek ölçeğiyle ilişkili olarak madde karakteristik eğrisinin pozisyonunu** belirtir. -- - `\(b_i\)` parametresinin **daha büyük değerleri**, bir bireyin maddeyi doğru yanıtlamak için **%50 şansa sahip olması için daha büyük yetenek düzeyine sahip olmasını** gerektirir. Diğer bir ifadeyle `\(b_i\)` parametresinin daha büyük değerleri, **daha zor** maddeyi ifade eder. -- - **Zor maddeler yetenek ölçeğinin sağında** veya daha yüksek ucundadır. - **Kolay maddeler yetenek ölçeğinin solunda** veya daha düşük ucundadır. --- ## Bir-Parametreli Lojistik (1-PL) Model - Bir grubun **yetenek düzeyleri ortalaması 0 ve standart sapması 1 olacak** şekilde ölçeklendiğinde, `\(b_i\)` değerleri genel olarak **-2.0 ile +2.0** arasında değişir. -- - `\(b_i\)` değerleri **-2.0’ye yakın** olan maddeler bireyler için oldukça **kolay,*** -- - `\(b_i\)` değerleri **+2.0’ye** yakın olan maddeler bireyler için oldukça **zor** maddelerdir. -- - `\(b_i\)` yetenek düzeyiyle **aynı ölçektedir.** --- ## Bir-Parametreli Lojistik (1-PL) Model .pull-left[ - Elimizde 1PL modelde uygun dört maddelik bir testte yer alan madde parametreleri bulunsun. - Madde 1 için `\(b_1 = 1.0\)` - Madde 2 için `\(b_2 = 2.0\)` - Madde 3 için `\(b_3 = -1.0\)` - Madde 4 için `\(b_4 = 0.0\)` `$$P_i(\theta) = \frac{1}{1+exp[-(\theta-b_i)]}$$` ] .pull-right[ <!-- --> ] --- ## Bir-Parametreli Lojistik (1-PL) Model .pull-left[ - **Eğriler yetenek ölçeğinde** sadece **yerleri bakımından farklılık gösterir.** - 1-PL modelinde birey performansını etkileyen tek madde özelliği **madde güçlüğüdür. ** ] .pull-right[
] --- ## mirt paketi yüklenmesi - Analizler **mirt** paketinde yapılacaktır. - Paketin yüklenmesi ve aktivite edilmesi aşağıdaki kodlarla sağlanır. ```r # install.packages("mirt") library("mirt") ``` --- ## 1PL modelin hazırlanması - İlk olarak test edilecek model hazırlanmalıdır. ```r birpl_model <- "F = 1-15 CONSTRAIN = (1-15, a1)" ``` - Kodun ilk satırı, tek bir gizil özelliğin (F'nin) veri setindeki 1 ile 5 arasındaki sütunlardaki maddeler tarafından ölçüldüğünü göstermektedir - CONSTRAIN ile başlayan ikinci satır ise 1'den 15'e kadar olan sütunlardaki maddeleri aynı madde ayırt ediciliğine (a1) sahip olacak şekilde sınırlar. - Sadece ilk 10 maddede madde ayırt ediciliğini aynı olacak şekilde sınırlamak isterseniz modeli aşağıdaki gibi düzenleyebilirsiniz. ```r birpl_model_v1 <- "F = 1-15 CONSTRAIN = (1-10, a1)" ``` --- ## Veri aktarımı
: [Veriyi açılan linkten farklı kaydet ile alabilirsiniz.](https://raw.githubusercontent.com/atalay-k/mirt_k/main/dichotomous.csv) ```r ikikategorili <- read_csv("dichotomous.csv")[,-1] head(ikikategorili) ``` ``` ## # A tibble: 6 × 15 ## V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 ## 2 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 ## 3 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 ## 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ## 5 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 ## 6 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 ## # … with 2 more variables: V14 <dbl>, V15 <dbl> ``` ```r summary(ikikategorili) ``` ``` ## V1 V2 V3 V4 V5 ## Min. :0.000 Min. :0.000 Min. :0.000 Min. :0.000 Min. :0.00 ## 1st Qu.:0.000 1st Qu.:0.000 1st Qu.:0.000 1st Qu.:0.000 1st Qu.:0.00 ## Median :0.000 Median :0.000 Median :0.000 Median :0.000 Median :0.00 ## Mean :0.182 Mean :0.074 Mean :0.175 Mean :0.164 Mean :0.28 ## 3rd Qu.:0.000 3rd Qu.:0.000 3rd Qu.:0.000 3rd Qu.:0.000 3rd Qu.:1.00 ## Max. :1.000 Max. :1.000 Max. :1.000 Max. :1.000 Max. :1.00 ## V6 V7 V8 V9 V10 ## Min. :0.000 Min. :0.00 Min. :0.000 Min. :0.000 Min. :0.000 ## 1st Qu.:0.000 1st Qu.:0.00 1st Qu.:0.000 1st Qu.:0.000 1st Qu.:1.000 ## Median :1.000 Median :0.00 Median :0.000 Median :0.000 Median :1.000 ## Mean :0.566 Mean :0.44 Mean :0.479 Mean :0.435 Mean :0.915 ## 3rd Qu.:1.000 3rd Qu.:1.00 3rd Qu.:1.000 3rd Qu.:1.000 3rd Qu.:1.000 ## Max. :1.000 Max. :1.00 Max. :1.000 Max. :1.000 Max. :1.000 ## V11 V12 V13 V14 V15 ## Min. :0.000 Min. :0.00 Min. :0.000 Min. :0.000 Min. :0.000 ## 1st Qu.:0.000 1st Qu.:1.00 1st Qu.:1.000 1st Qu.:0.000 1st Qu.:0.000 ## Median :0.000 Median :1.00 Median :1.000 Median :1.000 Median :1.000 ## Mean :0.123 Mean :0.76 Mean :0.936 Mean :0.612 Mean :0.541 ## 3rd Qu.:0.000 3rd Qu.:1.00 3rd Qu.:1.000 3rd Qu.:1.000 3rd Qu.:1.000 ## Max. :1.000 Max. :1.00 Max. :1.000 Max. :1.000 Max. :1.000 ``` --- ## Madde Istatistikleri ```r itemstats(ikikategorili) ``` ``` ## $overall ## N mean_total.score sd_total.score ave.r sd.r alpha ## 1000 6.68 2.7 0.114 0.11 0.688 ## ## $itemstats ## N mean sd total.r total.r_if_rm alpha_if_rm ## V1 1000 0.182 0.386 0.626 0.526 0.645 ## V2 1000 0.074 0.262 -0.169 -0.261 0.717 ## V3 1000 0.175 0.380 0.382 0.253 0.678 ## V4 1000 0.164 0.370 0.438 0.317 0.671 ## V5 1000 0.280 0.449 0.427 0.277 0.676 ## V6 1000 0.566 0.496 0.501 0.344 0.666 ## V7 1000 0.440 0.497 0.536 0.384 0.660 ## V8 1000 0.479 0.500 0.532 0.379 0.661 ## V9 1000 0.435 0.496 0.525 0.372 0.662 ## V10 1000 0.915 0.279 0.291 0.193 0.684 ## V11 1000 0.123 0.329 0.375 0.263 0.677 ## V12 1000 0.760 0.427 0.414 0.270 0.676 ## V13 1000 0.936 0.245 0.277 0.190 0.684 ## V14 1000 0.612 0.488 0.517 0.366 0.663 ## V15 1000 0.541 0.499 0.522 0.368 0.663 ## ## $proportions ## 0 1 ## V1 0.818 0.182 ## V2 0.926 0.074 ## V3 0.825 0.175 ## V4 0.836 0.164 ## V5 0.720 0.280 ## V6 0.434 0.566 ## V7 0.560 0.440 ## V8 0.521 0.479 ## V9 0.565 0.435 ## V10 0.085 0.915 ## V11 0.877 0.123 ## V12 0.240 0.760 ## V13 0.064 0.936 ## V14 0.388 0.612 ## V15 0.459 0.541 ``` --- ## Parametre Kestirimleri - mirt paketinin **mirt()** fonksiyonu temel olarak data ve model olarak iki argümanla çalışır. - **ikikategorili** veri setinin **birpl_model** modeli için testi aşağıdaki gibi yapılabilir. ```r birpl_model <- "F = 1-15 CONSTRAIN = (1-15, a1)" birpl_uyum <- mirt(data = ikikategorili, model = birpl_model) ``` - birpl_uyum nesnesi - parametre kstirimlerini - gizil özelliğin ortalamasını - gizil özelliğin varyans-kovaryans matrisini - kestirim sürecine ilişkin ek bilgileri içerir. --- ## Parametre Kestirimleri .pull-left[ - Kestirim süreci **birpl_uyum** nesnesine atandıktan sonra, parametreleri inceleme için **coef()** fonksiyonunun kullanabilir. - Çok boyutlu MTK'da yer alan, eğim ve kesişim parametrelerini geleneksel MTK parametrelerine dönüştürmek için **IRTpars** argümanı **TRUE** değeri ile kullanılır. - **simplify** argümanı **TRUE** değeri ile kullanıldığında parametreler liste yapısı yerine veri seti olarak elde edilir. ``` ## Iteration: 1, Log-Lik: -7355.589, Max-Change: 0.07977 Iteration: 2, Log-Lik: -7346.864, Max-Change: 0.03952 Iteration: 3, Log-Lik: -7344.574, Max-Change: 0.02206 Iteration: 4, Log-Lik: -7343.777, Max-Change: 0.00919 Iteration: 5, Log-Lik: -7343.636, Max-Change: 0.00536 Iteration: 6, Log-Lik: -7343.590, Max-Change: 0.00345 Iteration: 7, Log-Lik: -7343.564, Max-Change: 0.00151 Iteration: 8, Log-Lik: -7343.563, Max-Change: 0.00054 Iteration: 9, Log-Lik: -7343.563, Max-Change: 0.00033 Iteration: 10, Log-Lik: -7343.562, Max-Change: 0.00012 Iteration: 11, Log-Lik: -7343.562, Max-Change: 0.00009 ``` ] -- .pull-right[ - parametre kestirimlerini olusturulan **birpl_par** nesnesinin **items** bileşeninden alabiliriz. ```r birpl_par <- coef(birpl_uyum, IRTpars = TRUE, simplify = TRUE) birpl_par$items ``` ``` ## a b g u ## V1 1.01 1.7695 0 1 ## V2 1.01 2.8974 0 1 ## V3 1.01 1.8237 0 1 ## V4 1.01 1.9120 0 1 ## V5 1.01 1.1243 0 1 ## V6 1.01 -0.3201 0 1 ## V7 1.01 0.2882 0 1 ## V8 1.01 0.0996 0 1 ## V9 1.01 0.3126 0 1 ## V10 1.01 -2.7311 0 1 ## V11 1.01 2.2865 0 1 ## V12 1.01 -1.3673 0 1 ## V13 1.01 -3.0578 0 1 ## V14 1.01 -0.5475 0 1 ## V15 1.01 -0.1988 0 1 ``` ] --- ## Parametre Kestirimleri .pull-left[ ```r birpl_par <- coef(birpl_uyum, IRTpars = TRUE, simplify = TRUE) birpl_par$items ``` ``` ## a b g u ## V1 1.01 1.7695 0 1 ## V2 1.01 2.8974 0 1 ## V3 1.01 1.8237 0 1 ## V4 1.01 1.9120 0 1 ## V5 1.01 1.1243 0 1 ## V6 1.01 -0.3201 0 1 ## V7 1.01 0.2882 0 1 ## V8 1.01 0.0996 0 1 ## V9 1.01 0.3126 0 1 ## V10 1.01 -2.7311 0 1 ## V11 1.01 2.2865 0 1 ## V12 1.01 -1.3673 0 1 ## V13 1.01 -3.0578 0 1 ## V14 1.01 -0.5475 0 1 ## V15 1.01 -0.1988 0 1 ``` ] .pull-right[ - Her satır, madde adıyla başlar. - Sütunlar ise sırasıyla - ilk sütun **a** madde ayırtedicliği - ikinci sütun **b** madde güçlüğü - üçüncü sütun **g** alt asimptot (yani tahmin) - son sütun **u** üst asimptottur. - 1PL modeli alt ve üst asimptot parametrelerini içermediğinden, sırasıyla her zaman 0 ve 1 dir. ] --- ## Parametre Kestirimleri .pull-left[ ```r birpl_par <- coef(birpl_uyum, IRTpars = TRUE, simplify = TRUE) birpl_par$items ``` ``` ## a b g u ## V1 1.01 1.7695 0 1 ## V2 1.01 2.8974 0 1 ## V3 1.01 1.8237 0 1 ## V4 1.01 1.9120 0 1 ## V5 1.01 1.1243 0 1 ## V6 1.01 -0.3201 0 1 ## V7 1.01 0.2882 0 1 ## V8 1.01 0.0996 0 1 ## V9 1.01 0.3126 0 1 ## V10 1.01 -2.7311 0 1 ## V11 1.01 2.2865 0 1 ## V12 1.01 -1.3673 0 1 ## V13 1.01 -3.0578 0 1 ## V14 1.01 -0.5475 0 1 ## V15 1.01 -0.1988 0 1 ``` ] .pull-right[ - İlk sütun, 1.01 tahmini ile madde ayırt ayırtedicliği parametresini göstermektedir. - ikinci sütun, madde güçlük parametrelerini göstermektedir. - Peki en kolay madde hangisidir? - En zor madde hangisidir? ] --- ## Madde Karakteristik Eğrisi .pull-left-narrow[ - **plot()** fonksiyonu ile oluşturulan nesne içindeki maddeler için tek tek ya da istenilen maddeler için MKE çizdirilebilir. ] .pull-right-wide[ ```r plot(birpl_uyum,type = "trace", which.items = 1:15) ``` <!-- --> ] --- ## Madde Karakteristik Eğrisi .pull-left-narrow[ - mirt paketi grafik çiziminde **lattice** paketini kullanmaktadır. lattice paketi özellikleri ile grafiklerinizi özelleştirebilirsiniz. - Panelin oluşum şekli **layout** argümanı ile x ekseni limitlerini ise **theta_lim** argümanı ile değiştirilebilir. ] .pull-right-wide[ ```r plot(birpl_uyum, type = "trace", which.items = 1:15, layout=c(5, 3),theta_lim = c(-4, 4)) ``` <!-- --> ] ??? - 1-PL modelinde KTK **madde ayırt edicilik indeksine** karşılık gelen bir madde parametresi yoktur. - Bu bütün maddelerin **eşit ayırt ediciliğe** sahip olduğunu varsaymaya eşdeğerdir. - 1-PL modelinde madde karakteristik eğrilerinin **alt asimptotu sıfırdır.** - Bu **çok düşük yetenek düzeyine** sahip bireylerin maddeyi **doğru yanıtlama olasılığının sıfır** olduğunu belirtir. --- ## Madde Karakteristik Eğrisi .pull-left-narrow[ ```r plot(birpl_uyum, type = "trace", which.items = 1:15, layout=c(5, 3), panel=function(x, y){ panel.grid(h=-1, v=-1) panel.xyplot(x, y) panel.abline(h=0.5, lwd=1, lty=1)}) ``` ] .pull-right-wide[ <!-- --> ] ??? - Böylece çoktan seçmeli maddelerde **düşük yetenek düzeyine** sahip bireylerin **tahmin olasılığına izin verilmez.** Tahmin olmaması sayıltısı çoktan-seçmeli maddeleri içeren bir testin çok kolay olduğu durumlarda karşılanabilir. --- ## Madde Karakteristik Eğrisi .pull-left-narrow[ - **facet_items** argümanının FALSE değeri ile tüm maddelerin MKE tek bir grafikte elde edilebilir. ] .pull-right-wide[ ```r plot(birpl_uyum, type = "trace", which.items = 1:15, facet_items = FALSE) ``` <!-- --> ] --- ## İki-Parametreli Lojistik (2-PL) Model - **2-PL** model yaygın olarak kullanılan MTK modellerindendir. -- - **2-PL** model için madde karakteristik eğrileri aşağıdaki eşitlikle elde edilir: `$$P_i(\theta) = \frac{exp[a_i(\theta-b_i)]}{1+exp[a_i(\theta-b_i)]}=\frac{1}{1+exp(-[a_i(\theta-b_i)])}$$` `$$ln(\frac{P_i(\theta)}{1-P_i(\theta)})=a_i(\theta - b_{i})$$` Burada, - `\(P_i(\theta)\)`: θ yetenek düzeyindeki bir bireyin i maddesini doğru yanıtlama olasılığı - `\(b_i\)`: i maddesinin güçlük parametresi - `\(a_i\)`: i maddesinin ayırt edicilik parametresi - .xsmall[Çoğu durumda ai(θ - bi), D = 1.7 normalleştirme sabitiyle çarpılır.] --- ## 2-PL Model - Tarihsel olarak MTK modeli **kümülatif normal model (normal ogive model)** olarak geliştirilmiştir. -- - Ancak zamanla kümülatif normal model yerine, matematiksel olarak daha kolay ele alındığından, **kümülatif lojistik model** kullanılmaya başlamıştır. -- - Eğer `\(a_i(θ - b_i)\)` **1.7** normalleştirme sabitiyle çarpılırsa, iki model arasındaki **fark neredeyse ihmal edilir düzeyde olacaktır.** Yetenek düzeyinin bütün değerleri için iki modelle elde edilen olasılık değerleri arasındaki fark 0.01’den küçük olacaktır. ??? - MTK modeli başlangıçta **normal ogive modeli olarak** geliştirildiğinden, çoğu psikometrisyen geleneksel olarak lojistik modeli normal ogive model gibi yapma eğilimindedir. - BILOG ve MULTILOG gibi özelleşmiş çoğu MTK yazılımı sadece lojistik modeli kullanır. - D sabitinin kullanılıp kullanılmaması tercihe kalmıştır. --- ## İki-Parametreli Lojistik (2-PL) Model - Bir madde için `\(a_i\)` parametresi yetenek ölçeğinde `\(b_i\)` noktasında **madde karakteristik eğrisinin eğimiyle orantılıdır.** -- - Daha **dik eğimli** maddeler farklı yetenek düzeylerindeki bireyleri ayırmada **daha az eğimli** maddelere göre daha kullanışlıdır. -- - Bir maddenin bir θ yetenek düzeyinin yakınındaki bireyler arasındaki ayırt ediciliği - (θ düzeyine eşit veya daha düşük yetenek düzeyine sahip bireyleri θ düzeyinden yüksek yetenek düzeyine sahip bireylerden ayırma gücü) θ değerindeki madde karakteristik **eğrisinin eğimiyle** belirlenir. - `\(a_i\)` değerleri kuramsal olarak (-∞, +∞) ölçeğindedir. ??? - Başarı testlerinde **eksi yönde ayırt ediciliğe sahip maddeler**, testten çıkarılır. - Çünkü yetenek düzeyi arttıkça maddenin doğru yanıtlanma olasılığının düşmesi maddeyle ilgili bir probleme (yanlış anahtarlama gibi) işaret eder. - Ayrıca uygulamada genellikle 2.0’den büyük ayırt edicilik değerlerine rastlanmaz. Bu nedenle `\(a_i\)` parametresi için olağan aralık (0, 2)’dir. --- ## 2-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi .pull-left[ - Elimizde 2PL modelde uygun dört maddelik bir testte yer alan madde parametreleri bulunsun. - Madde 1 için `\(b_1\)` = 1.0 ve `\(a_1\)` = 1.0 - Madde 2 için `\(b_2\)` = 2.0 ve `\(a_2\)` = 0.5 - Madde 3 için `\(b_3\)` = -1.0 ve `\(a_3\)` = 1.5 - Madde 4 için `\(b_4\)` = 0.0 ve `\(a_4\)` = 1.2 ] .pull-right[
] --- ## 2-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi .pull-left[ - Eğriler 1-PL modelinde olduğu gibi **paralel değildir.** Her eğrinin **eğimi farklılık gösterir.** Bu da madde ayırt edicilik parametrelerinin farklı olduğunu yansıtır. - 2-PL modelinde birey performansını etkileyen madde özellikleri **madde güçlüğü ve madde ayırt ediciliğidir. ** ] .pull-right[
] ??? - **2-PL** modelinde 1-PL modelinde olduğu gibi madde karakteristik eğrilerinin **alt asimptotu sıfırdır. ** - Bu çok düşük yetenek düzeyine sahip bireylerin maddeyi doğru yanıtlama olasılığının sıfır olduğunu belirtir. Böylece çoktan seçmeli maddelerde **düşük yetenek düzeyine** sahip bireylerin **tahmin olasılığına izin verilmez.** - Tahmin olmaması sayıltısı çoktan-seçmeli maddeleri içeren bir testin çok zor olmadığı durumlarda karşılanabilir. --- ## 2-PL Model için Analiz - Modelin hazırlanması ```r ikipl_model <- "F = 1 - 15" ``` - Modelin testi ```r ikipl_uyum <- mirt(data = ikikategorili, model = ikipl_model, itemtype = "2PL") ``` ``` ## Iteration: 1, Log-Lik: -7355.589, Max-Change: 1.36358 Iteration: 2, Log-Lik: -7198.383, Max-Change: 0.65912 Iteration: 3, Log-Lik: -7170.537, Max-Change: 0.46260 Iteration: 4, Log-Lik: -7162.738, Max-Change: 0.38909 Iteration: 5, Log-Lik: -7159.685, Max-Change: 0.29704 Iteration: 6, Log-Lik: -7158.349, Max-Change: 0.22782 Iteration: 7, Log-Lik: -7157.056, Max-Change: 0.10551 Iteration: 8, Log-Lik: -7156.900, Max-Change: 0.09235 Iteration: 9, Log-Lik: -7156.824, Max-Change: 0.07639 Iteration: 10, Log-Lik: -7156.702, Max-Change: 0.03322 Iteration: 11, Log-Lik: -7156.687, Max-Change: 0.02994 Iteration: 12, Log-Lik: -7156.681, Max-Change: 0.03699 Iteration: 13, Log-Lik: -7156.667, Max-Change: 0.00433 Iteration: 14, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00143 Iteration: 15, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00070 Iteration: 16, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00037 Iteration: 17, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00185 Iteration: 18, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00130 Iteration: 19, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00080 Iteration: 20, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00065 Iteration: 21, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00039 Iteration: 22, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00129 Iteration: 23, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00063 Iteration: 24, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00045 Iteration: 25, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00127 Iteration: 26, Log-Lik: -7156.661, Max-Change: 0.00079 Iteration: 27, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00052 Iteration: 28, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00025 Iteration: 29, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00123 Iteration: 30, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00071 Iteration: 31, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00024 Iteration: 32, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00120 Iteration: 33, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00071 Iteration: 34, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00024 Iteration: 35, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00118 Iteration: 36, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00069 Iteration: 37, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00023 Iteration: 38, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00115 Iteration: 39, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00067 Iteration: 40, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00023 Iteration: 41, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00112 Iteration: 42, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00066 Iteration: 43, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00022 Iteration: 44, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00110 Iteration: 45, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00064 Iteration: 46, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00022 Iteration: 47, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00107 Iteration: 48, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00063 Iteration: 49, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00021 Iteration: 50, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00105 Iteration: 51, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00062 Iteration: 52, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00021 Iteration: 53, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00102 Iteration: 54, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00060 Iteration: 55, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00020 Iteration: 56, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00100 Iteration: 57, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00059 Iteration: 58, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00020 Iteration: 59, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00097 Iteration: 60, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00058 Iteration: 61, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00019 Iteration: 62, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00095 Iteration: 63, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00056 Iteration: 64, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00019 Iteration: 65, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00093 Iteration: 66, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00055 Iteration: 67, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00018 Iteration: 68, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00091 Iteration: 69, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00054 Iteration: 70, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00018 Iteration: 71, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00089 Iteration: 72, Log-Lik: -7156.660, Max-Change: 0.00053 Iteration: 73, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00018 Iteration: 74, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00087 Iteration: 75, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00052 Iteration: 76, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00017 Iteration: 77, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00085 Iteration: 78, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00051 Iteration: 79, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00017 Iteration: 80, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00083 Iteration: 81, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00050 Iteration: 82, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00016 Iteration: 83, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00081 Iteration: 84, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00048 Iteration: 85, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00016 Iteration: 86, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00079 Iteration: 87, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00047 Iteration: 88, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00016 Iteration: 89, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00077 Iteration: 90, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00046 Iteration: 91, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00015 Iteration: 92, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00075 Iteration: 93, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00045 Iteration: 94, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00015 Iteration: 95, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00074 Iteration: 96, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00044 Iteration: 97, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00015 Iteration: 98, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00072 Iteration: 99, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00043 Iteration: 100, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00014 Iteration: 101, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00070 Iteration: 102, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00043 Iteration: 103, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00014 Iteration: 104, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00069 Iteration: 105, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00042 Iteration: 106, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00014 Iteration: 107, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00067 Iteration: 108, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00041 Iteration: 109, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00013 Iteration: 110, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00066 Iteration: 111, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00040 Iteration: 112, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00013 Iteration: 113, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00064 Iteration: 114, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00039 Iteration: 115, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00013 Iteration: 116, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00063 Iteration: 117, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00038 Iteration: 118, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00012 Iteration: 119, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00061 Iteration: 120, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00037 Iteration: 121, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00012 Iteration: 122, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00060 Iteration: 123, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00036 Iteration: 124, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00012 Iteration: 125, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00058 Iteration: 126, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00036 Iteration: 127, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00012 Iteration: 128, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00057 Iteration: 129, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00035 Iteration: 130, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00011 Iteration: 131, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00056 Iteration: 132, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00034 Iteration: 133, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00011 Iteration: 134, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00055 Iteration: 135, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00033 Iteration: 136, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00011 Iteration: 137, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00053 Iteration: 138, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00033 Iteration: 139, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00011 Iteration: 140, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00052 Iteration: 141, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00032 Iteration: 142, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00010 Iteration: 143, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00051 Iteration: 144, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00031 Iteration: 145, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00010 Iteration: 146, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00050 Iteration: 147, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00031 Iteration: 148, Log-Lik: -7156.659, Max-Change: 0.00010 ``` - Parametrelerin incelenmesi ```r ikipl_par <- coef(ikipl_uyum, IRTpars = TRUE, simplify = TRUE) ``` --- ## 2-PL Model Madde Parametreleri - Madde parametreleri oluşturulan nesnenin **items** bileşeninde yer almaktadır. ```r ikipl_par$items ``` ``` ## a b g u ## V1 4.977 0.9739 0 1 ## V2 -1.506 -2.2354 0 1 ## V3 0.827 2.1212 0 1 ## V4 1.247 1.6606 0 1 ## V5 0.817 1.3180 0 1 ## V6 1.017 -0.3152 0 1 ## V7 1.141 0.2702 0 1 ## V8 1.104 0.0982 0 1 ## V9 1.160 0.2897 0 1 ## V10 0.896 -3.0037 0 1 ## V11 1.141 2.1006 0 1 ## V12 0.922 -1.4612 0 1 ## V13 1.048 -2.9899 0 1 ## V14 1.118 -0.5082 0 1 ## V15 1.160 -0.1772 0 1 ``` --- ## 2-PL Model MKE ```r plot(ikipl_uyum, type = "trace", which.items = 1:15) ``` <!-- --> --- ## 2-PL Model MKE ```r plot(ikipl_uyum, type = "trace", which.items = 1:15,facet_items = FALSE, abline=c(h=0.5)) ``` <!-- --> --- ## 3-PL Model - 3-PL model için madde karakteristik eğrileri aşağıdaki eşitlikle elde edilir: `$$P_i(\theta) = c_i + (1- ci)* \frac{exp[a_i(\theta-b_i)]}{1+exp[a_i(\theta-b_i)]}=c_i +\frac{1-c_i}{1+exp(-[a_i(\theta-b_i)])}$$` - `\(P_i(θ):\)` θ yetenek düzeyindeki bir bireyin i maddesini doğru yanıtlama olasılığı - `\(b_i\)` : i maddesinin güçlük parametresi - `\(a_i\)` : i maddesinin ayırt edicilik parametresi - `\(c_i\)` : i maddesinin sahte-tahmin parametresi - Tahmin yerine sahte-tahmin denmesinin nedeni, parametrenin tahminden fazlasını içermesidir. Örneğin, madde yazarları çekici ancak yanlış seçenekler geliştirebilir. ??? - Seçmeli-yanıtlı (çoktan-seçmeli gibi) maddeler gibi tahmin yoluyla doğru yanıtlara izin veren madde formatlarından elde edilen verilere **1-PL** ve **2-PL** modellerin uygulanmasında problemle karşılaşılabilir. - 1-PL ve 2-PL modellerinde **maddeyi doğru yanıtlama olasılığı yetenek düzeyi düştükçe sıfıra** yaklaşır. Ancak **çok düşük yetenek** düzeyindeki bireyler için bile maddeyi doğru yanıtlama olasılığı, bireyler **doğru yanıtı tahmin edebileceklerinden sıfırdan büyüktür. ** - **3-PL** modelinde yer alan `\(c_i\)` parametresi, seçmeli-yanıtlı test maddelerindeki performansta tahminin bir etken olduğu durumlarda, yetenek ölçeğinin düşük ucundaki performansı hesaba katar. - Sıfırdan farklı `\(c_i\)` parametresi, testi alan herhangi bir bireyin maddeyi doğru yanıtlama olasılığının sıfırdan farklı olduğunu yansıtır. - Yetenek düzeyinin çok düşük değerleri için bile bireylerin en az %20’si maddeyi doğru yanıtlayacaktır. --- ## 3-PL Model için Analiz - Modelin hazırlanması ```r ucpl_model <- "F = 1 - 15" ``` - Modelin testi ```r ucpl_uyum <- mirt(data = ikikategorili, model = ucpl_model, itemtype = "3PL") ``` ``` ## Iteration: 1, Log-Lik: -7658.778, Max-Change: 2.58886 Iteration: 2, Log-Lik: -7257.494, Max-Change: 1.80258 Iteration: 3, Log-Lik: -7196.191, Max-Change: 0.86544 Iteration: 4, Log-Lik: -7172.568, Max-Change: 0.36251 Iteration: 5, Log-Lik: -7163.490, Max-Change: 0.57814 Iteration: 6, Log-Lik: -7159.566, Max-Change: 0.74891 Iteration: 7, Log-Lik: -7164.697, Max-Change: 0.66705 Iteration: 8, Log-Lik: -7153.433, Max-Change: 0.75366 Iteration: 9, Log-Lik: -7152.258, Max-Change: 0.38706 Iteration: 10, Log-Lik: -7151.965, Max-Change: 1.18505 Iteration: 11, Log-Lik: -7151.522, Max-Change: 0.31671 Iteration: 12, Log-Lik: -7151.408, Max-Change: 0.25146 Iteration: 13, Log-Lik: -7151.277, Max-Change: 0.24664 Iteration: 14, Log-Lik: -7151.226, Max-Change: 0.25273 Iteration: 15, Log-Lik: -7151.189, Max-Change: 0.23262 Iteration: 16, Log-Lik: -7151.101, Max-Change: 0.05469 Iteration: 17, Log-Lik: -7151.091, Max-Change: 0.00194 Iteration: 18, Log-Lik: -7151.091, Max-Change: 0.00143 Iteration: 19, Log-Lik: -7151.091, Max-Change: 0.00082 Iteration: 20, Log-Lik: -7151.091, Max-Change: 0.00050 Iteration: 21, Log-Lik: -7151.091, Max-Change: 0.00037 Iteration: 22, Log-Lik: -7151.091, Max-Change: 0.00963 Iteration: 23, Log-Lik: -7151.090, Max-Change: 0.00179 Iteration: 24, Log-Lik: -7151.090, Max-Change: 0.00092 Iteration: 25, Log-Lik: -7151.090, Max-Change: 0.00024 Iteration: 26, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00122 Iteration: 27, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00048 Iteration: 28, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00025 Iteration: 29, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00120 Iteration: 30, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00089 Iteration: 31, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00024 Iteration: 32, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00120 Iteration: 33, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00105 Iteration: 34, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00024 Iteration: 35, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00120 Iteration: 36, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00093 Iteration: 37, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00024 Iteration: 38, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00119 Iteration: 39, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00094 Iteration: 40, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00024 Iteration: 41, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00119 Iteration: 42, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00091 Iteration: 43, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00024 Iteration: 44, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00118 Iteration: 45, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00090 Iteration: 46, Log-Lik: -7151.089, Max-Change: 0.00024 Iteration: 47, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00118 Iteration: 48, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00089 Iteration: 49, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00024 Iteration: 50, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00118 Iteration: 51, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00088 Iteration: 52, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00023 Iteration: 53, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00117 Iteration: 54, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00087 Iteration: 55, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00023 Iteration: 56, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00117 Iteration: 57, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00086 Iteration: 58, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00023 Iteration: 59, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00117 Iteration: 60, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00085 Iteration: 61, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00023 Iteration: 62, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00116 Iteration: 63, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00084 Iteration: 64, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00023 Iteration: 65, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00116 Iteration: 66, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00083 Iteration: 67, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00023 Iteration: 68, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00116 Iteration: 69, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00082 Iteration: 70, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00023 Iteration: 71, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00115 Iteration: 72, Log-Lik: -7151.088, Max-Change: 0.00082 Iteration: 73, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 74, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00115 Iteration: 75, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00081 Iteration: 76, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 77, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00115 Iteration: 78, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00080 Iteration: 79, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 80, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00114 Iteration: 81, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00080 Iteration: 82, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 83, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00114 Iteration: 84, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00079 Iteration: 85, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 86, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00114 Iteration: 87, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00079 Iteration: 88, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 89, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00114 Iteration: 90, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00078 Iteration: 91, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 92, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00113 Iteration: 93, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00077 Iteration: 94, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 95, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00113 Iteration: 96, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00077 Iteration: 97, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 98, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00113 Iteration: 99, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00076 Iteration: 100, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00023 Iteration: 101, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00113 Iteration: 102, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00076 Iteration: 103, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00022 Iteration: 104, Log-Lik: -7151.087, Max-Change: 0.00112 Iteration: 105, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00076 Iteration: 106, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 107, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00112 Iteration: 108, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00075 Iteration: 109, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 110, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00112 Iteration: 111, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00075 Iteration: 112, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 113, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00112 Iteration: 114, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00074 Iteration: 115, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 116, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00111 Iteration: 117, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00074 Iteration: 118, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 119, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00111 Iteration: 120, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00074 Iteration: 121, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 122, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00111 Iteration: 123, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00073 Iteration: 124, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 125, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00111 Iteration: 126, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00073 Iteration: 127, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 128, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00111 Iteration: 129, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00073 Iteration: 130, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 131, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00110 Iteration: 132, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00072 Iteration: 133, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 134, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00110 Iteration: 135, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00072 Iteration: 136, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 137, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00110 Iteration: 138, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00072 Iteration: 139, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00022 Iteration: 140, Log-Lik: -7151.086, Max-Change: 0.00110 Iteration: 141, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00072 Iteration: 142, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 143, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00110 Iteration: 144, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00071 Iteration: 145, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 146, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00109 Iteration: 147, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00071 Iteration: 148, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 149, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00109 Iteration: 150, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00071 Iteration: 151, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 152, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00109 Iteration: 153, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00071 Iteration: 154, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 155, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00109 Iteration: 156, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00071 Iteration: 157, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 158, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00109 Iteration: 159, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00070 Iteration: 160, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 161, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00108 Iteration: 162, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00070 Iteration: 163, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 164, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00108 Iteration: 165, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00070 Iteration: 166, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 167, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00108 Iteration: 168, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00070 Iteration: 169, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 170, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00108 Iteration: 171, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00070 Iteration: 172, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 173, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00108 Iteration: 174, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00069 Iteration: 175, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00022 Iteration: 176, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00108 Iteration: 177, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00069 Iteration: 178, Log-Lik: -7151.085, Max-Change: 0.00021 Iteration: 179, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00107 Iteration: 180, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00069 Iteration: 181, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 182, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00107 Iteration: 183, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00069 Iteration: 184, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 185, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00107 Iteration: 186, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00069 Iteration: 187, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 188, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00107 Iteration: 189, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00069 Iteration: 190, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 191, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00107 Iteration: 192, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00068 Iteration: 193, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 194, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00107 Iteration: 195, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00068 Iteration: 196, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 197, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00106 Iteration: 198, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00068 Iteration: 199, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 200, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00106 Iteration: 201, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00068 Iteration: 202, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 203, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00106 Iteration: 204, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00068 Iteration: 205, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 206, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00106 Iteration: 207, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00068 Iteration: 208, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 209, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00106 Iteration: 210, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00068 Iteration: 211, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 212, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00106 Iteration: 213, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00067 Iteration: 214, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 215, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00105 Iteration: 216, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00067 Iteration: 217, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00021 Iteration: 218, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00105 Iteration: 219, Log-Lik: -7151.084, Max-Change: 0.00067 Iteration: 220, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 221, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00105 Iteration: 222, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00067 Iteration: 223, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 224, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00105 Iteration: 225, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00067 Iteration: 226, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 227, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00105 Iteration: 228, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00067 Iteration: 229, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 230, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00105 Iteration: 231, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00067 Iteration: 232, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 233, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00105 Iteration: 234, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00067 Iteration: 235, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 236, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00104 Iteration: 237, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00067 Iteration: 238, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 239, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00104 Iteration: 240, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00066 Iteration: 241, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 242, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00104 Iteration: 243, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00066 Iteration: 244, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 245, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00104 Iteration: 246, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00066 Iteration: 247, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 248, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00104 Iteration: 249, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00066 Iteration: 250, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 251, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00104 Iteration: 252, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00066 Iteration: 253, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 254, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00103 Iteration: 255, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00066 Iteration: 256, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 257, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00103 Iteration: 258, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00066 Iteration: 259, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 260, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00103 Iteration: 261, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00066 Iteration: 262, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00021 Iteration: 263, Log-Lik: -7151.083, Max-Change: 0.00103 Iteration: 264, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00066 Iteration: 265, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00021 Iteration: 266, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00103 Iteration: 267, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00066 Iteration: 268, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00021 Iteration: 269, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00103 Iteration: 270, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 271, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00021 Iteration: 272, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00103 Iteration: 273, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 274, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 275, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00102 Iteration: 276, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 277, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 278, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00102 Iteration: 279, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 280, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 281, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00102 Iteration: 282, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 283, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 284, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00102 Iteration: 285, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 286, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 287, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00102 Iteration: 288, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 289, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 290, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00102 Iteration: 291, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 292, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 293, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00102 Iteration: 294, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 295, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 296, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00101 Iteration: 297, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 298, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 299, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00101 Iteration: 300, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 301, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 302, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00101 Iteration: 303, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 304, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 305, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00101 Iteration: 306, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00065 Iteration: 307, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00020 Iteration: 308, Log-Lik: -7151.082, Max-Change: 0.00101 Iteration: 309, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 310, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 311, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00101 Iteration: 312, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 313, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 314, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00101 Iteration: 315, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 316, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 317, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00100 Iteration: 318, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 319, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 320, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00100 Iteration: 321, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 322, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 323, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00100 Iteration: 324, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 325, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 326, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00100 Iteration: 327, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 328, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 329, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00100 Iteration: 330, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 331, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 332, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00100 Iteration: 333, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 334, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 335, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00100 Iteration: 336, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 337, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 338, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00099 Iteration: 339, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 340, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 341, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00099 Iteration: 342, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 343, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 344, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00099 Iteration: 345, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 346, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 347, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00099 Iteration: 348, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00064 Iteration: 349, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 350, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00099 Iteration: 351, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00063 Iteration: 352, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 353, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00099 Iteration: 354, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00063 Iteration: 355, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00020 Iteration: 356, Log-Lik: -7151.081, Max-Change: 0.00099 Iteration: 357, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 358, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00020 Iteration: 359, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00099 Iteration: 360, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 361, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00020 Iteration: 362, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00098 Iteration: 363, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 364, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00020 Iteration: 365, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00098 Iteration: 366, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 367, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00020 Iteration: 368, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00098 Iteration: 369, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 370, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00020 Iteration: 371, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00098 Iteration: 372, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 373, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00020 Iteration: 374, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00098 Iteration: 375, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 376, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00020 Iteration: 377, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00098 Iteration: 378, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 379, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00020 Iteration: 380, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00098 Iteration: 381, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 382, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00019 Iteration: 383, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00097 Iteration: 384, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 385, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00019 Iteration: 386, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00097 Iteration: 387, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 388, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00019 Iteration: 389, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00097 Iteration: 390, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 391, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00019 Iteration: 392, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00097 Iteration: 393, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 394, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00019 Iteration: 395, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00097 Iteration: 396, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00063 Iteration: 397, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00019 Iteration: 398, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00097 Iteration: 399, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00062 Iteration: 400, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00019 Iteration: 401, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00097 Iteration: 402, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00062 Iteration: 403, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00019 Iteration: 404, Log-Lik: -7151.080, Max-Change: 0.00097 Iteration: 405, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 406, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 407, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00096 Iteration: 408, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 409, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 410, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00096 Iteration: 411, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 412, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 413, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00096 Iteration: 414, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 415, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 416, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00096 Iteration: 417, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 418, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 419, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00096 Iteration: 420, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 421, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 422, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00096 Iteration: 423, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 424, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 425, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00096 Iteration: 426, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 427, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 428, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00096 Iteration: 429, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 430, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 431, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00095 Iteration: 432, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 433, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 434, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00095 Iteration: 435, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 436, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 437, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00095 Iteration: 438, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 439, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 440, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00095 Iteration: 441, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 442, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 443, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00095 Iteration: 444, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 445, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 446, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00095 Iteration: 447, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 448, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 449, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00095 Iteration: 450, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00062 Iteration: 451, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 452, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00095 Iteration: 453, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00061 Iteration: 454, Log-Lik: -7151.079, Max-Change: 0.00019 Iteration: 455, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00094 Iteration: 456, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 457, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 458, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00094 Iteration: 459, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 460, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 461, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00094 Iteration: 462, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 463, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 464, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00094 Iteration: 465, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 466, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 467, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00094 Iteration: 468, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 469, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 470, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00094 Iteration: 471, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 472, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 473, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00094 Iteration: 474, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 475, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 476, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00094 Iteration: 477, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 478, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 479, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00093 Iteration: 480, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 481, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 482, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00093 Iteration: 483, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 484, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 485, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00093 Iteration: 486, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 487, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 488, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00093 Iteration: 489, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 490, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 491, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00093 Iteration: 492, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 493, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 494, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00093 Iteration: 495, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 496, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 497, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00093 Iteration: 498, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00061 Iteration: 499, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00019 Iteration: 500, Log-Lik: -7151.078, Max-Change: 0.00093 ``` - Parametrelerin incelenmesi ```r ucpl_par <- coef(ucpl_uyum, IRTpars = TRUE, simplify = TRUE) ``` --- ## 3-PL Model Madde Parametreleri - Madde parametreleri oluşturulan nesnenin **items** bileşeninde yer almaktadır. ```r ucpl_par$items ``` ``` ## a b g u ## V1 5.010 0.973 6.86e-05 1 ## V2 -1.786 -2.125 7.45e-03 1 ## V3 0.826 2.124 2.19e-04 1 ## V4 1.507 1.613 2.28e-02 1 ## V5 0.832 1.303 4.39e-04 1 ## V6 1.013 -0.312 9.97e-04 1 ## V7 1.143 0.275 1.17e-03 1 ## V8 1.114 0.104 1.63e-03 1 ## V9 1.400 0.468 8.29e-02 1 ## V10 0.886 -2.964 5.06e-02 1 ## V11 1.210 2.056 4.70e-03 1 ## V12 0.925 -1.450 4.69e-03 1 ## V13 5.925 -0.127 8.57e-01 1 ## V14 1.134 -0.484 9.60e-03 1 ## V15 1.163 -0.173 8.85e-04 1 ``` --- ## 3-PL Model MKE ```r plot(ucpl_uyum, type = "trace", which.items = 1:15) ``` <!-- --> --- ## 3-PL Model MKE ```r plot(ucpl_uyum, type = "trace", which.items = 1:15,facet_items = FALSE, abline=c(h=0.5)) ``` <!-- --> --- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi <!-- --> ??? - Madde 1 için `\(b_1\)` = 1.0 ve `\(a_1\)` = 1.8 ve `\(c_1\)` = 0 - Madde 2 için `\(b_2\)` = 1.0 ve `\(a_2\)` = 0.8 ve `\(c_2\)` = 0 - Madde 3 için `\(b_3\)` = 1.0 ve `\(a_3\)` = 1.8 ve `\(c_3\)` = 0.25 - Madde 4 için `\(b_4\)` = -1.5 ve `\(a_4\)` = 1.8 ve `\(c_4\)` = 0 - Madde 5 için `\(b_5\)` = -0.5 ve `\(a_5\)` = 1.2 ve `\(c_5\)` = 0.10 - Madde 6 için `\(b_6\)` = 0.5 ve `\(a_6\)` = 0.4 ve `\(c_6\)` = 0.15 ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi
--- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi - Madde 1 ve Madde 4 ait MKE arasındaki karşılaştırma hangi parametrenin rolunu vurgulamaktadır? --
--- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi - Madde 1 için `\(b_1\)` = 1.0 ve `\(a_1\)` = 1.8 ve `\(c_1\)` = 0 - Madde 4 için `\(b_4\)` = -1.5 ve `\(a_4\)` = 1.8 ve `\(c_4\)` = 0 --- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi - Madde 1 ve Madde 2 ait MKE arasındaki karşılaştırma hangi parametrenin rolunu vurgulamaktadır? --
--- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi - Madde 1 için `\(b_1\)` = 1.0 ve `\(a_1\)` = 1.8 ve `\(c_1\)` = 0 - Madde 2 için `\(b_2\)` = 1.0 ve `\(a_2\)` = 0.8 ve `\(c_2\)` = 0 --- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi - Madde 1 ve Madde 3 ait MKE arasındaki karşılaştırma hangi parametrenin rolunu vurgulamaktadır? --
--- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi - Madde 1 için `\(b_1\)` = 1.0 ve `\(a_1\)` = 1.8 ve `\(c_1\)` = 0 - Madde 3 için `\(b_3\)` = 1.0 ve `\(a_3\)` = 1.8 ve `\(c_3\)` = 0.25 --- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi - Yandaki 6 maddeden hangi madde θ = 0.0 değerinde en zor maddedir?
--- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi - Yandaki 6 maddeden hangi madde θ = 0.0 değerinde en zor maddedir?
--- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi Yandaki 6 maddeden hangi iki madde θ = -1.0 değerinde eşit güçlükteki maddelerdir?
--- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi Yandaki 6 maddeden hangi iki madde θ = -1.0 değerinde eşit güçlükteki maddelerdir?
--- ## 3-PL Model için Madde Karakteristik Eğrisi Yandaki 6 maddeden hangi madde θ = 3.0 değerinde en ayırt edici maddedir?
??? Madde 2 --- ## Yetenek Parametresi Kestirimi MTK modellerinde başlıca üç yolla puanlama yapılır: - Maksimum Likelihood (ML) - Maksimum a Posteriori (MAP) - Expected/estimated a Posteriori (EAP) --- ## Yetenek Parametresi Kestirimi - Bireylerin faktör puanları veya gizil özellik düzeyi kestirimleri **fscores()** fonksiyonuyla hesaplanabilir. - **fscores()* fonksiyonunun birinci argümanı object olup bu argümanın değeri **mirt()** fonksiyonunun çıktısı olarak kaydedilen nesnelerdir. Kestirim yönteminin türü method argümanıyla maksimum olabilirlik (ML) olarak belirlenmiştir. - full.scores.SE argümanı için de TRUE değeri seçilerek kestirimlerin standart hataları istenebilir. ```r ML <- fscores(ikipl_uyum, method="ML",full.scores.SE=TRUE) MAP <- fscores(ikipl_uyum, method="MAP", full.scores.SE=TRUE) EAP <- fscores(ikipl_uyum, method="EAP",full.scores.SE=TRUE) ``` --- ## Yetenek Parametresi Kestirimi .three-column[ ```r head(ML) ``` ``` ## F SE_F ## [1,] 0.7360 0.381 ## [2,] 0.5359 0.457 ## [3,] 0.8977 0.346 ## [4,] -0.5036 0.632 ## [5,] 2.3398 0.819 ## [6,] -0.0337 0.603 ``` ] .three-column[ ```r head(MAP) ``` ``` ## F SE_F ## [1,] 0.6356 0.384 ## [2,] 0.4366 0.445 ## [3,] 0.7981 0.342 ## [4,] -0.3610 0.530 ## [5,] 1.5725 0.491 ## [6,] -0.0247 0.516 ``` ] .three-column[ ```r head(EAP) ``` ``` ## F SE_F ## [1,] 0.5552 0.407 ## [2,] 0.3483 0.438 ## [3,] 0.7493 0.383 ## [4,] -0.3892 0.520 ## [5,] 1.7016 0.491 ## [6,] -0.0737 0.493 ``` ] --- ## Yetenek Parametresi Kestirimi ```r yetenek <- data.frame(ML= ML[,1],MAP=MAP[,1],EAP=EAP[,1]) apply(yetenek,2,summary) ``` ``` ## ML MAP EAP ## Min. -Inf -2.5228 -2.57e+00 ## 1st Qu. -0.9165 -0.6457 -6.67e-01 ## Median -0.0645 -0.0472 -9.43e-02 ## Mean -Inf 0.0228 -5.42e-05 ## 3rd Qu. 0.7064 0.6054 5.22e-01 ## Max. 19.9999 2.2015 2.30e+00 ``` --- ## Yetenek Parametresi Kestirimi .pull-left[ ```r cor(yetenek) ``` ``` ## ML MAP EAP ## ML 1 NaN NaN ## MAP NaN 1.000 0.998 ## EAP NaN 0.998 1.000 ``` ] .pull-right[ ```r pairs(yetenek) ``` <!-- --> ] --- ## Model Seçimi ```r anova(birpl_uyum,ikipl_uyum) ``` ``` ## ## Model 1: mirt(data = ikikategorili, model = birpl_model) ## Model 2: mirt(data = ikikategorili, model = ikipl_model, itemtype = "2PL") ``` ``` ## AIC SABIC HQ BIC logLik X2 df p ## 1 14719 14747 14749 14798 -7344 NaN NaN NaN ## 2 14373 14425 14429 14521 -7157 374 14 0 ``` ```r anova(ikipl_uyum,ucpl_uyum) ``` ``` ## ## Model 1: mirt(data = ikikategorili, model = ikipl_model, itemtype = "2PL") ## Model 2: mirt(data = ikikategorili, model = ucpl_model, itemtype = "3PL") ``` ``` ## AIC SABIC HQ BIC logLik X2 df p ## 1 14373 14425 14429 14521 -7157 NaN NaN NaN ## 2 14392 14470 14476 14613 -7151 11.2 15 0.741 ``` --- ## Madde Bilgi Fonksiyonu - Teknik olarak, **bilgi** bir parametre **kestiriminin standart hatasının tersiyle** ilişkili bir değerdir. -- - Yüksek bilgi değeri parametre kestirimi hakkında daha fazla bilgiye sahip olunduğunu belirtir. -- - MTK'da **bilgi** birey yeteneğini kestirmek için kullanılan maddelerin toplamından elde edilen bilgiyi ifade eder. -- --- ## Test Bilgi Fonksiyonu - Bilginin miktarı yetenek değerine bağlıdır, bu nedenle **test bilgi fonksiyonu** olarak adlandırılır. -- - Bilgi miktarı uygulamada test düzeyinde değerlendirilir. -- - Ancak bilgi madde düzeyinde elde edilir ve **test bilgi fonksiyonu** `\(I_T(θ)\)` madde bilgi fonksiyonlarının `\(I_i(θ)\)` toplamıdır. `\(I_T(θ)= \sum{I_i(θ)}\)` --- ## Madde Bilgi Fonksiyonu i maddesi için belli bir yetenek düzeyinde (θ değerinde) bilgi miktarı için farklı MTK modellerinde kullanılan eşitlikler aşağıdaki gibidir: - 1PL - `\(I_i(θ)=P_i(θ)*Q_i(θ)\)` - `\(Q_i(θ)=1-P_i(θ)\)` - 2PL - `\(I_i(θ)=a_i^2P_i(θ)*Q_i(θ)\)` - 3PL - `\(I_i(θ)=a_i^2 \frac{Q_i(θ)}{P_i(θ)}[\frac{P_i(θ) - c_i}{1- c_i}]^2\)` --- ## 1-PL Modeli için Madde Bilgi Fonksiyonu - 1-PL (a = 1.0, c = 0.0, D = 1.7 sabiti yok) - b = 1.2 madde güçlüğü ile θ = 1.0 yetenek düzeyindeki bir birey için `$$P_i(\theta) = \frac{1}{1+exp[-(\theta-b_i)]}$$` `$$P_i(1) = \frac{1}{1+exp[-(1-1.2)]} = 0.45$$` `\(I_i(θ)= 0.45 * (1-0.45) =2.48\)` ```r p <- 1/(1+exp(-(1-1.2))) p * (1-p) ``` ``` ## [1] 0.248 ``` --- ## Madde Bilgi Fonksiyonu .pull-left[ <!-- --> ] .pull-right[ ```r b <- c(1.2) theta <- seq(-4,4,0.01) prob <- c() for(j in 1:length(theta)){ dir <- 1/(1 + exp(-(theta[j] - b))) prob[j] <- dir j=j+1 } bilgi = prob * (1- prob) p <- data.frame(prob,bilgi) MBF <- ggplot(p, aes(theta, bilgi)) + geom_line() ``` ] --- ## 2-PL Modeli için Madde Bilgi Fonksiyonu - 2-PL (a = 0.8, c = 0.0, D = 1.7 sabiti yok) - b = 1.2 madde güçlüğü ile θ = 1.0 yetenek düzeyindeki bir birey için ```r b <- 1.2 a <- 0.8 theta <- seq(-4,4,0.01) p <- 1/(1+exp(-(0.8*(1-1.2)))) a^2 * p * (1-p) ``` ``` ## [1] 0.159 ``` --- ## 2-PL Modeli için Madde Bilgi Fonksiyonu .pull-left[ <!-- --> ] .pull-right[ ```r prob <- c() for(j in 1:length(theta)){ dir <- 1/(1 + exp(-(a*(theta[j] - b)))) prob[j] <- dir j=j+1 } bilgi = a*a * prob * (1- prob) p <- data.frame(prob,bilgi) MBF2 <- ggplot(p, aes(theta, bilgi)) + geom_line() ``` ] --- ## Madde Bilgi Fonksiyonu .three-column[ ```r plot(birpl_uyum, type = "infotrace", which.items = 5) ``` <!-- --> ] .three-column[ ```r plot(ikipl_uyum, type = "infotrace", which.items = 5) ``` <!-- --> ] .three-column[ ```r plot(ucpl_uyum, type = "infotrace", which.items = 5) ``` <!-- --> ] --- ## Madde Bilgi Fonksiyonu <!-- --> --- ## Madde Bilgi Fonksiyonu ```r madde1 <- extract.item(ikipl_uyum, 1) Theta <- matrix(seq(-6,6, by = .1)) info.1 <- iteminfo(madde1, Theta) plot(Theta, info.1, type = 'l', main = 'Item information') ``` <!-- --> --- ## Madde Bilgi Fonksiyonu - i maddesi için maksimum bilgi farklı MTK modellerinde aşağıdaki yetenek düzeylerinde (θ değerinde) elde edilir: - 1-PL - `\(\theta=b_i\)` - 2-PL - `\(\theta=b_i\)` - 3-PL - `\(\theta=b_i + \frac{1}{Da_i}[ln\frac{1 + \sqrt{1+8c_i}}{2}]^2\)` --- ## Test Bilgi Fonksiyonu - Bireysel maddelerin teste katkısının miktarı testteki diğer maddelerin bilgisi olmadan belirlenebilir. - Bu klasik test kuramında mümkün değildir. - Örneğin, güvenirlik veya nokta-çift serili korelasyon testteki maddelerin geri kalanından bağımsız olarak belirlenemez. - Testteki madde sayısı daha fazlaysa, daha yüksek test bilgi fonksiyonu elde edilir. --- ## Test Bilgi Fonksiyonu - Lord (1977) tarafından önerilen test geliştirme yöntemi: - Beklenen test bilgi fonksiyonunun şekli belirlenir: Hedef bilgi fonksiyonu Örneğin, <img src="bilgi.PNG" width="60%" style="display: block; margin: auto;" /> - Maddeler seçilir ve test bilgi fonksiyonu hesaplanır ve hedef bilgi fonksiyonuyla karşılaştırılır. - Bir önceki basamak beklenen sonuçlar elde edilene kadar tekrar edilir. --- ## Test Bilgi Fonksiyonu .three-column[ ```r tinfo <- testinfo(ikipl_uyum, Theta,which.items = 1:5) plot(Theta, tinfo, type = 'l') ``` <!-- --> ] .three-column[ ```r tinfo <- testinfo(ikipl_uyum, Theta,which.items = 1:10) plot(Theta, tinfo, type = 'l') ``` <!-- --> ] .three-column[ ```r tinfo <- testinfo(ikipl_uyum, Theta,which.items = 1:15) plot(Theta, tinfo, type = 'l') ``` <!-- --> ] --- ## Test Bilgi Fonksiyonu ```r tinfo <- testinfo(ikipl_uyum, Theta,which.items = c(1,3:5,7:10,11)) plot(Theta, tinfo, type = 'l') ``` <!-- --> --- ## Test Bilgi Fonksiyonu ```r plot(birpl_uyum, type='infoSE') ``` <!-- --> --- ## Kaynaklar - Atar, B., Atalay Kabasakal, K, Unsal Ozberk, E. B., Ozberk, E. H. & Kibrislioglu Uysal, N. (2020). R ile Veri Analizi ve Psikometri Uygulamaları, Pegem Akademi, Ankara. - Chalmers, R. P. (2012). mirt: A multidimensional item response theory package for the R environment. Journal of Statistical Software, 48(6), 1-29. - Desjardins, C.D., & Bulut, O. (2017). Handbook of Educational Measurement and Psychometrics Using R (1st ed.). Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/b20498 --- .center[ <br> <br> <br> .hand[Teşekkürler] ]